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Círculo Trigonométrico

As definições das razões trigonométricas referidas numa outra página referem-se apenas a ângulos agudos. No entanto, há interesse em generalizá-las a qualquer ângulo.

Considere-se um círculo centrado na origem de um referencial o.m. xOy cujo raio tem r unidades de comprimento.

Designa-se por P o ponto de interseção da circunferência que limita o círculo com o semieixo positivo das abcissas e por A um ponto qualquer da referida circunferência.

Seja α a amplitude do ângulo orientado positivo , x a abcissa do ponto A e y a respetiva ordenanda.

Diz-se que α pertence ao 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante consoante o lado extremidade se encontra respetivamente no 1.º, 2.º, 3.º ou 4.º quadrante.

Se α pertencer ao 1.º quadrante , não surge nada de novo em relação ás razões trigonométricas, uma vez que o ângulo POA é agudo.

No entanto, é possível definir razões trigonométricas de outra forma compatível com as definições já conhecidas, mas generalizáveis a qulaquer ângulo.

Asim tem-se:

Figura 1

Como o raio r do círculo considerado é qualquer, em particular, pode ser r=1 e, neste caso, ficam facilitados os cálculos para a obtenção das razões trigonométricas.

Considere-se um círculo de raio 1 e um ângulo α, como é sugerido na figura 2.

Ateendendo às definiçôes dadas, tem-se:

sin α = y
cos α = x
tg α =

As coordenadas do ponto A são: (cos α , sin α ).

Figura 2

Ao círculo centrado na origem do referencial e com unidade de raio, dá-se o nome de círculo trigonométrico.

As razões trigonométricas de um ângulo: seno, cosseno e tangente no círculo trtigonométrico

Na figura abaixo estão representados, no círculotrigonométrico, os ângulos α , β , θ e φ, tendo como lado a origem o semieixo positivo das abcissas e os lados extremidade pertencentes, respetivamente, ao 1.º , 2.º, 3.º e 4.º quadrantes.

Figura 3

No caso geral, se α é a amplitude de um ângulo orintado em qwue o lado origem é o seemieixo positivo das abcissas e P o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo com a circunferência que limita o cìrculo trigonométrico, conclui-se que:

cos α = x, abcissa do ponto P
sin α =y , ordenada do ponto P
-1≤ cos α ≤ 1
-1≤ sin α ≤ 1

Figura 4

Uma equação da circunferência que limita o círculo trigonométrico é x²+y²=1.

Como cos α = x e sin α = y, tem-se sin² α + cos² α = 1.

A fórmula fundamental da trigonometria, já conhecida para ângulos agudos, em particular como ângulos internos de triângulos retângulos, é generalizável a qualquer ângulo de amplitude α.

Fórmula fundamental da trigonometria

sin² α + cos² α = 1

Quanto à interpretação geométrica, no círcilo trigonométrico, da tangente de um ângulo de amplitude α , há necessidade de fazer uma construção auxiliar.

Pelo ponto P (1,0) do círculo trigonométrico faz-se uma reta t tangente à circunferência num ponto A e a reta t num ponto T.

O ponto B é a projeção ortogonalde A sobre Ox.

Figura 5

Atendendo á definição de um ângulo e à semelhança de triângulos pode escrever-se:

Donde se conclui que a tangente do ângulo α coincide com a ordenadado ponto T.

Para ângulos do 1.º e 4.º quadrantes, a tangente coincide com a ordenanda do ponto de interseção do lado extremidade do ângulo com reta t, eixo das tangentes.

Figura 6

Se os ângulos pertencem ao 2.º e 3.º quadrantes, o lado extre,midadedo ângulo não interseta a reta t e, nesse caso, faz-se o prolongamento do lado extremidade do ângulo até intersetar o eixo das tangentes.

Figura 7

A tangente de qualquer ângulo em que o lado extremidade ou o prolongamento desse lado intersete o eixo das tangentes num ponto T è igual à ordenada desse ponto.

tan α = y (ordenada do ponto T)

y ∈ ]-∞ , + ∞ [

As coordenadas do ponto A são ( cos α , sin α ) e em todos os casos em que cos α ≠ 0. Assim mantêm-se válidas as relações:

Sinal das razões trigonométricas

No círculo trigonométrico, a determinação dos sinais das razões trigonométricas de um ângulo α pode ser feita a partir dossinais de qualquer ponto do lado extremidade do ângulo.

O lado extremidade do ângulo α coincide com: