Função Seno
Seja f a função que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real sin x .
Representação gráfica
Domínio
O domínio de f é ℝ.
Contradomínio
Qualquer que seja a amplitude x tem-se sin x ∈ [-1,1] , ou seja, -1≤ f(x) ≤ 1.
O contradomínio de f é [-1, 1].
Período
Sabe-se que x e x + 2kπ (k ∈ Z) têm o mesmo seno, isto é:
sin x = sin (x + 2kπ), k ∈ Z
Qualquer que seja a amplitude x pertencente ao domínio de f , tem-se f (x + 2kπ) = f (x), k ∈ Z.
Diz-se que a função seno é periódica e 2π é o período positivo mínimo.
As características da função seno, por exemplo, no intervalo [0, 2π] são as mesmas que em qualquer intervalo do tipo:
[2kπ, 2π + 2kπ], com k ∈ Z
Paridade
Atendendo a que sin(-x)= - sin x, conclui-se que:
∀x ∈ Df , f (-x) = -f (-x), isto é, a função f é ímpar.
A representação gráfica de qualquer função ímpar é simétrica em relação à origem do referencial.
Variação
O estudo feito da variação do seno, em termos de círculo trigonométrico, é confirmado através da observação da representação gráfica ao lado.
Se x ∈ [ 0, π/2 ], a função seno é crescente.
Se x ∈ [ π/2, 3π/2 ], a função seno é decrescente.
Se x ∈ [ 3π/2, 2π ], a função seno é crescente.
Valor mínimo: -1
Valor máximo: 1
Do estudo da função seno, resulta o seguinte:
Função Cosseno
Seja g a função que a cada amplitude x tem (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real cos x .
Tal como a função seno, a função cosseno é periódica, de período positivo mínimo 2π, e o estudo de alguma generalidades é feito de forma idêntica ao que foi feito para a função seno.
Representação gráfica
Domínio
O domínio de g é ℝ.
Contradomínio
Qualquer que seja a amplitude x , tem-se cos x ∈ [-1, 1], ou seja, -1 ≤ g (x) ≤ 1.
O contradomínio de g é [-1, 1].
Paridade
Atendendo a que cos(-x)= cos x, conclui-se que:
∀x ∈ Dg, g (-x) = g (x), isto é, a função g é par.
A representação gráfica de qualquer função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.
Variação
Se x ∈ [ 0, π ], a função cosseno é decrescente.
Se x ∈ [ π, 2π ], a função cosseno é crescente.
Valor mínimo: -1
Valor máximo: 1
As principais conclusões da função cosseno são apresentadas no quadro seguinte:
-
f : ℝ → ℝ
x → sin x
-
Df = ℝ
-
D'f = [-1, 1]
-
Zeros: x = kπ, k ∈ Z
-
FUnção periódica: período positivo mínimo 2π
-
Máximo 1 para x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z
-
Mínimo -1 para x = 3π/2 + 2kπ, k ∈ Z
-
Função ímpar: ∀ x ∈ Df, f (-x) = - f (x)
-
g : ℝ → ℝ
x → cos x
-
Dg = ℝ
-
D'g = [-1, 1]
-
Zeros: x = π/2 + kπ, k ∈ Z
-
Função periódica: período positivo mínimo 2π
-
Máximo 1 para x = 2kπ, k ∈ Z
-
Mínimo -1 para x = π + 2kπ, k ∈ Z
-
Função par: ∀ x ∈ Dg, g (-x) = g (x)
Função Tangente
Seja h a função que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo no círculo trigonométrico faz corresponder o número real tg x .
Se o lado extremidade do ângulo orientado (Ox, OA) está contido no eixo Oy, a tangente não está definida. Daqui se conclui que o domínio da função tangente não é ℝ.
Representação gráfica
Domínio
O domínio da função h é:
{ x ∈ ℝ: x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z } ou ℝ/ { x ∈ ℝ: x = π/2 + kπ, k ∈ Z }
Contradomínio
O contradomínio da função tangente é ℝ.
Período
Atendendo a que tg (x + kπ) = tg x, k ∈ Z, conclui-se que a função tangente é periódica e o período positivo mínimo é π.
∀x ∈ Dh , h (x + π) = h (x)
Assim, basta fazer o estudo da função num intervalo de amplitude π, por exemplo, no intervalo ]-π/2, π/2[.
Paridade
A função h é ímpar, atendendo a que:
∀x ∈ Dh , tg(-x) = - tg x
O gráfico da função tangente é simétrico em relação à origem do referencial.
Variação
Repara que a função tangente è crescente em qualquer intervalo (e não reunião de intervalos) em que a função esteja definida.
Se ]a, b[ ⊂ ]-π/2 + kπ, π/2 + kπ[ , k ∈ Z , então a função tangente é crescente em ]a, b[ .
As principais conclusões conclusões da função tangente são apresentadas no seguinte quadro.
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Seja D = { x ∈ ℝ: x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z } e h : D → ℝ
x → tg x
-
Dh = D
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D'h = ℝ
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Função periódica: período positivo mínimo π
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Zeros: x = kπ, k ∈ Z
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Função crescente em qualquer intervalo onde esteja definida
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Não tem máximo nem mínimo
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Função ímpar: ∀ x ∈ Dh, tg (-x) = -tg x