Histograma

Polígono de frequências

No histograma de frequências absolutas ou frequências relativas, ao unir-se os pontos médios das bases superior dos retângulos e prolongando essa linha às classes externas do histograma, obtém-se o polígono de frequências absolutas ou o polígono de frequências relativas.

Exemplo:

As marcas alcançadas nos Jogos Olímpicos de verão de 2008, na final da prova de arremesso de peso (masculino), têm a seguinte distribuição.

Neste caso, o polígono de frequências relativas é dado pelo gráfico seguinte:

Repara que o polígono de frequências juntamente com o eixo horizontal limita uma superfície cuja área é igual à soma das áreas dos retângulos que constituem o histograma.

Polígonos de frequências acumuladas (Ogivas de Galton)

Para representar graficamente dados agrupados em classes recorre-se a um diagrama de áreas ou histogramas, que são gráficos constituídos por retângulos adjacentes em que as bases, marcadas no eixo horizontal, coincidem com a marcação das classes e a área de cada retângulo corresponde à frequência ( absoluta e relativa ) da respetiva classe.

Determinação das alturas das barras retangulares nos histogramas:

Sejam:

a altura da barra (retângulo) corresponde à classe de ordem i;

amplitude da classe de ordem i;

frequência da classe de ordem i;

como a área de um retângulo corresponde à frequência da classe, tem-se = X

Então:

Exercício/Exemplo:

Os candidatos a um emprego realizaram uma prova que foi classificada numa escala de 0 a 20 e tiveram previamente a seguinte informação:

Informação:

Classificação ≥ 16 -- Admitido --

Classificação < 10 -- Eliminado --

Classificação entre 10 e 16 -- Entrevistado --

Determinação das alturas das barras e construção do histograma das frequências absolutas.

Repara que a soma das áreas dos retângulos é igual a N (ou 1 no caso das frequências relativas).

Retomando a tabela de frequências:

Os histogramas correspondentes às frequências absolutas e às frequências relativas podem ter as seguintes representações:

Marca da classe

Por vezes, há interesse em trabalhar com valores que sejam representantes de cada uma das classes. Admitindo que os dados dentro de cada classe se distribuem uniformemente, toma-se para representante da classe o valor central designado por marca ou centro da classe.

Se a classe é representada pelo intervalo [a,b[ , chama-se marca da classe ao valor médio entre a e b , isto é, ao valor .

0 se x < 2,5

12x - 30 se 2,5 ≤ x < 3

22x - 60 se 3 ≤ x < 3,5

16x - 39 se 3,5 ≤ x < 4

14x - 31 se 4 ≤ x < 4,5

32 se x ≥ 4,5

Assim como se representa o histograma de frequências absolutas e o respetivo polígono de frequências, pode-se representar o histograma de frequências absolutas (ou relativas) acumuladas e o polígono de frequências absolutas (ou relativas) acumuladas.

A seguir apresenta-se uma tabela de frequências absolutas simples e acumuladas da massa corporal ("peso") dos bebés nascidos numa maternidade durante uma semana.

Unindo os vértices superiores direitos dos retângulos do histograma, ou seja, os pontos (2,5 ; 0) , (3 , 6) , (3,5 ; 17) , (4 , 25) e (4,5 ; 32) , obtém-se o polígono de frequências acumuladas (ou Ogiva de Galton).

Tal como no caso da variável discreta pode também definir-se a função cumulativa de frequências absolutas (ou relativas).

Para definir analiticamente a função cumulativa, é necessário determinar as expressões que caraterizam cada um dos segmentos de retas e semirretas que a compõem.

Se x ≥ 4,5 , tem-se y = 32 .

Se x < 2,5 , tem-se y = 0.

Em relação aos segmentos de reta, considere-se [AB] em que A(2,5 ; 0) e B(3 , 6).

= B- A = (3 , 6) - ( , 0) = ( , 6)

Se m é o declive da reta AB, então m = =12.

A equação reduzida da reta AB é do tipo y = 12x + b.

Como B(3 , 6) é um dos pontos da reta, tem-se:
6 = 12 x 3 + b ⇔ b= -30

O segmento de reta [AB]é definido pela condição:

y = 12x - 30 ∧ 2,5 ≤ x < 3.

Procedendo do mesmo modo em relação aos outros segmentos de reta, obtém-se:

F(x) =